Simulación

La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a término experiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias -dentro de los límites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos - para el funcionamiento del sistema

Clasificacion de los Modelos

La clasificación de los modelos se da de la siguiente manera:

1. MODELOS SIMBÓLICOS: Son más específicos que los modelos verbales. Ellos representan un puente útil en el proceso de simbolizar un modelo verbal. Estos aíslan las variables y representan la realidad a través de símbolos, los que tienen generalmente un carácter matemático o lógico. Estos pueden clasificarse en:

1.1 Modelos matemáticos: Son más rigurosos; se valen de variables cuantitativas, como fórmulas para representar las partes de un proceso o un sistema. También son los más abstractos y a la vez, los más fáciles de usar debido a que todas las relaciones están expresadas con precisión, reduciendo asi la posibilidad de malas interpretaciones por los usuarios del modelo. Estos modelos a su vez se clasifican en:

 1.1.1 Modelos cuantitativos: es aquel cuyos principales símbolos representan números. Son los más comunes y útiles en los negocios.

1.1.2 Modelos cualitativos: aquel modelo cuyos símbolos representan en su mayoría a Cualidades no numéricas. Una fuente importante es la teoría de conjuntos.

1.1.3 Modelo Probabilístico: aquellos basados en la estadística y probabilidades (donde se incorpora las incertidumbres que por lo general acompañan nuestras observaciones de eventos reales). Este modelo se clasifica en discreto y continuo.

·         Modelo probabilístico continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las variables intervinientes son continuas.

·         Modelo probabilístico discreto: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las variables varían en forma discontinua.

·          Modelo estocástico: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una distribución x probable dentro del intervalo).

1.1.4 Modelo Deterministico: corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas.

 1.1.5 Modelo Descriptivo: cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en términos matemáticos, descripción que puede emplearse para exponer una situación con mayor claridad, para indicar como pueden reajustarse o aún para determinar los valores de ciertos aspectos de la situación.

 1.1.6 Modelo Optimizador: corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima.

 1.1.7 Modelo estático: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a través del tiempo. El modelo estático puede ser:

·         Modelo numérico: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.

·         Modelo analítico: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de ecuaciones).

1.1.8 Modelo dinámico: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el tiempo. Estos pueden ser:

·         Modelo numérico: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.

·         Modelo analítico: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de ecuaciones).

1.2. Modelos verbales: Explicación con palabras de lo fundamental de una realidad.

2. MODELOS MENTALES: Son un conjunto de conceptos que conforman la estructura mental a través de la cual percibimos el mundo exterior y las experiencias personales.

Este conjunto de conceptos es el producto de la enseñanza, los patrones culturales, la experiencia y el entrenamiento.

3. MODELOS FÍSICOS: Representan la entidad estudiada en cuanto a su apariencia y, hasta cierto punto, en cuanto a sus funciones. Las actividades del sistema se reflejan en las leyes físicas que subyacen el modelo. Estos se clasifican en:

3.1.1 Modelo icónico: Tienen aspecto de realidad pero no se comportan efectivamente en la forma real.

3.1.2 Modelo analógico: Exhiben el comportamiento real de la entidad estudiada pero no tiene el mismo aspecto.

3.1.3 Modelo digital: El objeto se codifica en cifras organizadas en estructura de datos. Las relaciones de correspondencia son matemáticas, estadísticas o geométricas.

3.1.4 Modelo estático: Corresponden a los modelos a escala así como los modelos icónicos.

3.1.5 Modelo dinámico: Corresponden a los modelos analógicos.

Fuente: “Introducción a la Simulación”. Disponible en < http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/computacionestadistica/pdfs/tema1.pdf>.

Ventajas y Desventajas de la Simulación

VENTAJAS

·         No es necesario interrumpir las operaciones de la compañía.

·         Proporciona muchos tipos de alternativas posibles de explorar.

·         La simulación proporciona un método más simple de solución cuando los                      procedimientos matemáticos son complejos y difíciles.

·         La simulación proporciona un control total sobre el tiempo, debido a que un                     fenómeno se puede acelerar.

·         Auxilia el proceso de innovación ya que permite al experimentador observar y jugar con el sistema.

·         Una vez construido el modelo se puede modificar de una manera rápida con el fin de analizar diferentes políticas  o escenario. Permite análisis de sensibilidad

·         Generalmente es más barato mejorar el sistema vía simulación que hacerlo en el sistema real.

·         Es mucho más sencillo visualizar y comprender los métodos de simulación que los métodos puramente analíticos. Da un entendimiento profundo del sistema

·         Los métodos analíticos se desarrollan casi siempre relativamente sencillos donde suele hacerse un gran número de suposiciones simplificaciones, mientras que en los métodos de simulación es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con menor detalle.

·         En algunos casos,  la simulación es el único medio para lograr una solución.

·         Da soluciones a problemas "sin" solución analítica

·         Permite analizar el efecto sobre el rendimiento global de un sistema, de pequeños cambios realizados en una o varias de sus componentes

·         A partir de la experimentación con un modelo, es posible analizar los efectos sobre el sistema real de cambios organizativos, o de cambios en la gestión de la información.

·         El análisis del modelo del sistema puede permitir la sugerencia de posibles mejoras del sistema real, así como detectar las variables más influyentes en el rendimiento del mismo.

·         Permite la experimentación en condiciones que podrían ser peligrosas o de elevado coste económico en el sistema real.

·         La simulación suele ser utilizada también con una perspectiva pedagógica para ilustrar y facilitar la comprensión de los resultados que se obtienen mediante las técnicas analíticas.

·         En resumen:

·         Permite responder muy satisfactoriamente a preguntas del tipo “qué ocurriría si realizamos este cambio en ...”

·         Contribuye a la reducción del riesgo inherente a la toma de decisiones.

DESVENTAJAS

1. Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costoso; a menudo el proceso de desarrollar un modelo es largo y complicado.

2. La simulación no genera soluciones óptimas a problemas de análisis cuantitativos, en técnicas como cantidad económica de pedido, programación lineal o PERT. Por ensayo y error se producen diferentes resultados en repetidas corridas en el computador.

3. Los directivos generan todas las condiciones y restricciones para analizar las soluciones. El modelo de simulación no produce respuestas por si mismo.

4. Cada modelo de simulación es único. Las soluciones e inferencias no son usualmente transferibles a otros problemas.

5 Siempre quedarán variables por fuera y esas variables (si hay mala suerte) pueden cambiar completamente los resultados en la vida real que la simulación no previó… en ingeniería se “minimizan riesgos, no se evitan”.

6.    La simulación es imprecisa, y no se puede medir el grado de su imprecisión.

7.    Los resultados de simulación son numéricos; por tanto, surge el peligro de atribuir a los números un grado mayor de validez y precisión.

8.    Los modelos de simulación en una computadora son costosos y requieren mucho tiempo para desarrollarse y validarse.

9.    Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrara soluciones,  lo cual representa altos costos.

10. Es difícil aceptar los modelos de  simulación y difícil de vender

11. Los modelos de simulación no dan soluciones  óptimas.

12. La solución de un modelo  de simulación  puede dar al análisis  un falso sentido de seguridad.

13. Requiere "largos" periodos de desarrollo

Ventajas y Desventajas de la Experimentación

Ventajas

1.         Se requiere una estrecha colaboración entre los estadísticos y el investigador o científicos con las consiguientes ventajas en el análisis e interpretación de las etapas del programa.

2.         Se enfatiza respecto a las alternativas anticipadas y respecto a la pre-planeación sistemática, permitiendo aun la ejecución por etapas y la producción única de datos útiles para el análisis en combinaciones posteriores.

3.         Debe enfocarse la atención a las interrelaciones y a la estimación y cuantificación de fuentes de variabilidad en los resultados.

4.         El número de pruebas requerido puede determinarse con certeza y a menudo puede reducirse.

5.         La comparación de los efectos de los cambios es más precisa debido a la agrupación de resultados.

6.         La exactitud de las conclusiones se conoce con una precisión matemáticamente definida.

Desventajas 

1.         Tales diseños y sus análisis, usualmente están acompañados de enunciados basados en el lenguaje técnico del estadístico. Sería significativos a la generalidad de la gente, además, el estadístico no debería subestimar el valor de presentarnos los resultados en forma gráfica. De hecho, siempre debería considerar a la representación gráfica como un paso preliminar de un procedimiento más analítico.

2.         Muchos diseños estadísticos, especialmente cuando fueron formulados por primera vez, se han criticado como demasiado caros, complicados y que requieren mucho tiempo. Tales críticas, cuando son válidas, deben aceptarse de buena fe y debe hacerse un intento honesto para mejorar la situación, siempre que no sea en detrimento de la solución del problema.

Medidas de Tendencia Central

Ahora nos ocuparemos exclusivamente de las variables cuantitativas, puesto que con los atributos no se pueden realizar operaciones aritméticas. Como hemos estudiado, las variables estadísticas cuantitativas se dividen o clasifican en discretas o continuas, por lo que necesitaremos precisar cómo se calculan dichas medidas en cada caso.

 Las medidas estadísticas pretenden "resumir" la información de la "muestra" para poder tener así un mejor conocimiento de la población.  

Las medidas de tendencia central corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. (Ellas permiten analizar los datos en torno a un valor central). Entre éstas están la media aritmética, la moda y la mediana.

Media Aritmética:

Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.

 Moda (Mo)

Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos, o sea, cual se repite más.

Ejemplo 1:

Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.

                  5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3

La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)

Ejemplo 2:

               20, 12, 14, 23, 78, 56, 96

En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.

Mediana (Med)

Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.

Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:

- Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.

- Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).

Ejemplo 1:

Se tienen los siguientes datos:  5, 4, 8, 10, 9, 1, 2

Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 

                                                           1, 2, 4,  5  , 8, 9, 10

El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.

Medidas de Dispersion

Hasta el momento hemos estudiado los valores centrales de la distribución, pero también es importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de estos valores centrales, es por lo que surge la necesidad de estudiar medidas de dispersión.

Rango: Es la primera medida que vamos a estudiar, se define como la diferencia existente entre el valor mayor y el menor de la distribución,. Lo notaremos como R. Realmente no es una medida muy significativa e la mayoría de los casos, pero indudablemente es muy fácil de calcular.

Hemos estudiado varias medidas de centralización, por lo que podemos hablar de desviación con respecto a cualquiera de ellas, sin embargo, la mas utilizada es con respecto a la media.

Desviación: Es la diferencia que se observa entre el valor de la variable y la media aritmética. La denotaremos por d_i .

No es una medida, son muchas medidas, pues cada valor de la variable lleva asociada su correspondiente desviación, por lo que precisaremos una medida que resuma dicha información.

La primera solución puede ser calcular la media de todas las desviaciones, es decir, si consideramos como muestra la de todas las desviaciones y calculamos su media. Pero esta solución es mala pues como veremos siempre va a ser 0.

Desviación media:

Es la media de los valores absolutos de las desviaciones, y la denotaremos por d_m.

Varianza:

Es la media de los cuadrados de las desviaciones, y la denotaremos por  S²

Desviación típica:

Es la raíz cuadrada de la varianza, se denota por S_x o s _x.

Bibliografia: Vargas Sabadías  Antonio;  Estadística descriptiva e inferencial.

Kolmogorov-Smirnov

Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de observaciones provienen de una distribución. La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre la distribución empírica y la teórica supuesta. D es una variable aleatoria. Se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].

Procedimiento:

1. Se formula la hipótesis nula, Ho. De que los números provienen de una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].

2. Se selecciona una muestra de tamaño n de números pseudoaleatorios generados n = 1000. Sea Fn(x), de la siguiente manera:

Fn(x) = i/n

Donde i es la posición que ocupa el número X_I en el vector obtenido.

3. Calcule la función de distribución acumulada empírica fn(x) de la siguiente manera. Ordene los valores de la secuencia, tal que para toda i. -Haga Fn(0)

4. Evalúe la estadística de Kolmogorov-Smirnov. A partir de:

Dn = Máx. [Fn (X_i) – X_i] para toda Xi.

5. Consulte la tabla de límites de aceptación para la prueba de kolmogorov- Smirnov, para un tamaño de muestra n y un determinado nivel de riesgo alfa, si D es menor o igual a este número se acepta Ho, de otra manera se rechaza. A continuación se muestra la tabla antes mencionada:

Prueba de medios: Consiste en verificar que los números generados tengan una media estadísticamente igual a ½, de este modo la hipótesis planteada es:

H₀= Hipótesis nula:                μ= ½

H₁ = Hipótesis alternativa:     μ Diferente de ½.

Pasos a seguir en esta prueba:

1. Calcular la media de los n números generados:

2. Calcular los límites superior e inferior de aceptación:

Si el valor de la media se encuentra entre el límite inferior y el límite superior se acepta entonces que los números aleatorios tienen una media estadísticamente igual a ½ con un nivel de aceptación de 1- α.

Prueba de varianza: Consiste en verificar si los números aleatorios generados tienen una varianza de 0.083, de tal forma que la hipótesis queda expresada como:

El procedimiento a seguir para el uso de este tipo de prueba, es el siguiente:

1. Calcular la variancia de los n números generados V(x).

 2. Calcular los límites superior e inferior de aceptación:

Si V(x) se encuentra entre los valores de los límites anteriores, entonces se acepta la hipótesis nula y los números aleatorios tienen una variancia estadísticamente igual a 1/12.

Prueba de poker: Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los números generados son estadísticamente independientes entre sí, esto es, que no depende uno de otro. Hay varios métodos, entre los cuales están:

La prueba de Poker.

La prueba de corridas arriba y abajo.

La prueba de corridas arriba debajo de la media.

La prueba de la longitud de las corridas.

La prueba de series

La prueba de poker plantea la siguiente hipótesis:

H₀: r_i ~ independiente

H₁: r_i ~ dependiente

El procedimiento a seguir en esta prueba, es el siguiente:

1. Calcular las probabilidades esperadas para un juego de poker con 5 cartas numeradas del 0 al 9 con reemplazos. Se tienen 7 eventos con las siguientes probabilidades:

Calcular la frecuencia esperada de cada uno de los eventos multiplicando la probabilidad de cada evento por la cantidad de números aleatorios generados.

Para cada número aleatorio generado verificar si es pachuca, 1 par, 2 pares, etc., tomando los primeros 5 dígitos a la derecha del punto decimal. Con estos resultados se genera una tabla de frecuencias observadas de cada uno de los eventos.

Calcular la estadística:

Si el valor de X_I² es menor o igual al estadístico de tablas X_I² con m-1 grados de libertad y una probabilidad de rechazo, entonces se acepta que estadísticamente los números son independientes.